习题 1, § 3

$a$) 证明，如果非离散值除法环 K 上的豪斯多夫拓扑向量空间 E 使得 0 包含向量子空间的每个邻域不是单个点 0，则E 不能的拓扑由范数定义，特别地，K上Hausdorff拓扑向量空间的无限序列$(E_n)$的乘积，单个点0的由……组成不存在拓扑不能由范数定义。 b) 考虑乘积向量空间$E = K_s^\mathbf{N}$；对于所有$x = (\xi_n) \in E$，放入

证明 E 的拓扑由距离 $d(x, y) = |x - y|$ 定义，如果 $|\lambda| \leq 1$ 则为 $|\lambda x| \leq |x|$，如果 $|\lambda| \geq 1$ 则为 $|\lambda x| \leq |\lambda|.|x|$，并且对于所有 $x_0 \in E$，$|\lambda x_0|$ 与 $|\lambda|$ 趋于 0。