习题 27, § 2

a) 令$B$为$E$的非空闭凸子集，豪斯多夫拓扑向量空间，并令$X$为$E$中的非空紧集。证明如果$A$是$E$的子集使得$A + X \subset B + X$，则$A \subset B$（如果$a \in A$，考虑由关系归纳定义的$X$的点序列$(x_n)$） $a + x_n = b_n + x_{n+1}$，其中$b_n \in B$）。如果$A, B$是$E$的两个非空子集，则利用$E$中的距离以及GT、IX, § 2的过程，执行。 6. 显示$A + X = B + X$意味着关系$A = B$。 b) 令$E$为赋范空间，$\sigma$定义在$E$的闭非空子集的集合$\mathfrak{F}(E)$上定义的距离函数，使用$E$中的距离和TG过程， IX，p. 91，锻炼。 6. 证明如果$A, B, C$是$E$中的三个非空紧凸集合，则$\sigma(A + C, B + C) = \sigma(A, B)$（如果$S_\lambda$是由$\|x\| \leq \lambda$、注定义的球，则$A + S_\lambda$和$B + S_\lambda$是闭凸的） 集合并使用 $a$）。 c) 从$a$和$b$推导出，赋范空间$E$的非空、紧致、凸子集的集合$\mathfrak{K}(E)$，距离为$\sigma$，可以用赋范空间中的圆锥来识别其中合成诱导中的律位于$\mathfrak{K}(E)$律$(A, B) \to A + B$和$(\lambda, A) \to \lambda A$。