习题 31, § 2

令$x_0$为A闭包中的点，A是豪斯多夫拓扑向量空间E的非空凸子集。令$f$为在A上定义的凸函数。使用$\mathscr{D}$表示闭半线D的集合，其起始于$x_0$，其中 $A \cap D$ 包含是一个开放线段，末端为点 $x_0$。半线$D \in \mathscr{D}$的并C是顶点为$x_0$的凸圆锥。 a) 证明，对于每个固定的 $D \in \mathscr{D}$，当 x 趋向于 $x_0$ 使得 $x \in D \cap A$ 和 $x \neq x_0$ 时，$f(x)$ 趋向于有限的极限或$+\infty$。 b) 令$\mathscr{J}$为$D \in \mathscr{D}$中的子集，其中a)中$f(x)$的极限为$+\infty$；如果$x_0 \in A$则$\mathscr{J}$为空。证明$\mathscr{J}$ 不能包含两条相对的半线；如果 D 和 $D'$ 是 $\mathscr{J}$ 中的两条不同的半线，并且 P 是由 D 和 $D'$ 确定的平面，那么，或者，P 属于到 $\mathscr{J}$ 中 $\mathscr{D}$ 的每半线 $D''$，或者 D 和 $D'$ 是 P 中仅有的两条半线$\mathscr{J}$ 位于 P 中。 推出，如果 $\mathscr{J} \neq \mathscr{D}$，则没有半线 $D \in \mathscr{J}$ 包含圆锥C 相对于向量子空间生成的内部点（II，p. 26） C。 c) 设$\mathscr{F}$为$\mathscr{D}$中不在$\mathscr{J}$中的半行的集合。证明$\mathscr{F}$的半直线中的并是凸锥体，并且对于a)中定义的$f(x)$的每条半直线$D \in \mathscr{F}$极限与D无关（使用上面的练习29）；进一步如果$x_0 \in A$这个极限是$\leq f(x_0)$，并且当$\mathscr{F}$包含两条相对的半线时它等于$f(x_0)$。 d) 令 $f$ 为 E 上的非连续线性形式 ($cf.$ II, p. 86, 练习 17, a)) 并取 $A = E$；证明每条闭合半线，起始于 $x_0$、属于到 $\mathscr{F}$，但是

（使用II、p. 18的第21条）。