习题 3, § 4

令$I$为$\mathbf{R}$的紧致区间$[0, 1]$，$F$为$I$中定义的连续实值函数的向量空间$\mathscr{C}(I, \mathbf{R})$。设$E$为乘积空间$\mathbf{R}^F$；对于所有$a \in I$，令$\varepsilon_a$为$E$的元素，使得$\varepsilon_a(f) = f(a)$对于所有$f \in F$。 a) 证明当$x$在$I$变化时，$\varepsilon_x$形成的集合$K$在$E$是紧的。 b) 令 $\lambda$ 为 $E$ 的元素，使得 $\lambda(f) = \int_0^1 f(t)\ dt$ 对于所有 $f \in F$（勒贝格测度）。 证明，在 $E$ 中，$\lambda$ 属于到$K$ 凸包络线的闭包，但不属于到这个凸包络线（*cf.* FVR，II，p. 7，道具 5）。