习题 5, § 4

a) 设 $E$ 为范数为空间的无限维，$\mathscr{T}$ 为其拓扑。证明$E$上存在一个比$\mathscr{T}$严格更细的规范化空间拓扑$\mathscr{T}'$和一个严格比$\mathscr{T}$更粗糙的规范化空间拓扑$\mathscr{T}''$ （对于这些拓扑，定义邻域为 0，使用$E$的基放入形式$(a_{\alpha,n})$，其中$\alpha$在指标$A$和$n$的无限集合中变化） 整数 $\geq 0$ 的集合，其中 $\|a_{\alpha,n}\| = 1$ 对于$E$ 上的给定范数。 b) 设$p$为范数，定义拓扑$\mathscr{T}'$。证明，如果 $E$ 对于拓扑 $\mathscr{T}$ 是完整的，那么对于拓扑 $\mathscr{T}$，$p$ 不能在 $E$ 中是下半连续的（使用 Baire 的第 cf. III，p. 25，推出）。推导出由关系$p(x) < 1$定义的凸集合$A$不存在包含对于$\mathscr{T}$的任何内部点，甚至虽然所有的点都是内部的。 c) 由b)推导出，如果$E$对于拓扑$\mathscr{T}$是完备的，则$E$凸集合中存在对于$\mathscr{T}$不封闭的，其中交对于有限维的每个线性变体都是封闭的$\mathscr{T}$（cf.II，p. 67，练习 12）。

习题