习题 12, § 6

a) 设E为向量空间，$(E_\alpha)_{\alpha \in A}$为E的子空间的递增有向族，其并为E；每个$E_\alpha$应该带有一个局部凸的拓扑$\mathscr{T}_\alpha$，使得$\alpha \leq \beta$典范嵌入$E_\alpha \to E_\beta$是连续的。设E上的$\mathscr{T}$为拓扑，即$\mathscr{T}_\alpha$的归纳极限（II，p. 29，例*II）；表明 E 的对偶 $E'$（对于 $\mathscr{T}$）与拓扑 $\sigma(E', E)$ 可以与对偶 $E'_\alpha$ 的射影极限和拓扑 $\sigma(E'_\alpha, E_\alpha)$ 进行规范地识别。 b) 令$(X_\alpha, \phi_{\alpha\beta})$为指标A的非空集合相应的到有向集合的射影系统，使得$\phi_{\alpha\beta}$是满射且$\lim X_\alpha = \varnothing$(S,III, § 7,执行4)。将 $F_\alpha = \mathbf{R}^{(X_\alpha)}$ 并用 $f_{\alpha\beta} : F_\beta \to F_\alpha$ 表示，$\alpha \leq \beta$ 线性映射由 $\phi_{\alpha\beta}$ 规范推导

（A，II, § 1.11，cor.1）。如果，我们给每个$F_\alpha$拓扑，即因子的直和拓扑，$F_\alpha$的对偶$E_\alpha = F'_\alpha$，与弱拓扑$\sigma(E_\alpha, F_\alpha)$，可以用乘积来识别空间$\mathbf{R}^{x_\alpha}$，$f'_{\alpha\beta}$是$E_\alpha$的同构在$E_\beta$的闭子空间上，在$E_\beta$有拓扑补集。证明在$E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$（对于$f'_{\alpha\beta}$）拓扑，即$E_\alpha$的归纳极限是最粗糙的拓扑（因此非豪斯多夫）（使用$a$）并注意$\lim_{\leftarrow} F_\alpha = \{0\}$。