习题 14, § 6

令$E$为Hausdorff局部凸空间，$F$为最小型的局部凸空间（练习13）。 a) 证明如果$M$是乘积空间$E \times F$的闭向量子空间，则$E$上的投影在$E$中闭（使用练习13，e*））。 *b) 设$u$为$F$中$E$的线性映射。证明如果 $u$ 的图在 $E \times F$ 内闭合，则 $u$ 是连续的（使用 a）。 c) 假设在 $E$ 中，每个闭向量子空间都有一个拓扑补 (cf.* V, p. 13)。证明，在 $E \times F$ 中，每个闭向量子空间 $M$ 都有一个拓扑补。 （如果$N_1$是$E$和$N_2$上$M$的投影，则$E$中$N_1$的拓扑补，如果$P_1 = M \cap F$和$P_2$是$P_1$的拓扑补） $F$，证明$N_2 + P_2$是$E \times F$中$M$的拓扑补集，使用*b*)。）