习题 15, § 6

令 $E, F$ 为两个 Hausdorff 局部凸空间。我们说连续线性映射 $u : E \to F$ 是*线性正确的*，如果对于每个 Hausdorff 局部凸空间 $G$ 以及$V$ 的$E \times G$ 像的每个闭向量子空间 $V$ $u \times 1_G : E \times G \to F \times G$已关闭。证明这个条件等价于：$u^{-1}(0)$是$E$的最小型的子空间，并且对于$E$的每个闭向量子空间$W$，集合$u(W)$是$F$关闭。 （为了表明第一个条件蕴含第二个，考虑映射$v : E \to \{0\}$，并给出$E$拓扑$\sigma(E, E')$，以便$E$与$\sigma({E'}^*, E')$一起浸入${E'}^*$中，将像置于$E \times E$ 的对角线 $\Delta$ 的$E \times {E'}^*$ 中的闭包的投影 $v \times 1_{{E'}^*} : E \times {E'}^* \to {E'}^*$ 要证明第二个条件蕴涵第一个，请证明对于拓扑 $\sigma(E, E')$ 和 $\sigma(F, F')$，映射 $u$ 是严格的态射并使用 exerc 13, e)。 \*