习题 16, § 6

令$F$为线的乘积，$C$为$F$中的闭凸集合。 *a) 表明存在$x_0 \in F$、两个集合$I$和$J$以及$\mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^J$上$F$的拓扑同构$u$，使得$u(x_0 + C)$属于形式$\mathbf{R}^I \times A$，其中$A$ 是$\mathbf{R}_+^J$ 的闭凸集合。 （注我们有$F = G^*$，其中$F$有拓扑$\sigma(G^*, G)$；考虑$G$中$C$的极$C^\circ$，$G$的向量子空间生成$C^\circ$ 以及这个子空间的补充。） *b) 如果$C$没有包含任何仿射线，则$F$中$C \times C$的映射$(x, y) \mapsto x + y$是正确的。 *c) 假设 $C$ 是顶点为 0 的圆锥体，并且由 F 的均匀分布在 $C$ 上导出的均匀结构是可度量的。那么如果a)的集合I和J，点$x_0$和映射$u$满足条件，则I是可枚举的，并且存在J的可枚举子集H，这样规范投影$p : \mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^J \to \mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^H$到$u(x_0 + C)$的限制是$\mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^J$制服子空间$u(x_0 + C)$的同构，$\mathbf{R}^I \times \mathbf{R}^H$制服子空间$p(u(x_0 + C))$。