习题 18, § 6

a) 在赋范空间 E 中，令 A 为闭凸集合 $\neq E$；证明函数 $x \mapsto d(x, \complement A)$ 在 A 中是凹的（使用 A 是闭半空间的交的事实）。 b) 闭凸集合$A_n \subset \mathbf{R}^n$的定义归纳序列如下； $A_1 = \mathbf{R}_+$；如果 $\mathbf{R}^{n+1}$ 与 $\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}$ 相同，则 $A_{n+1}$ 是对 $(x, \xi)$ 中的集合，使得 $x \in \overset{\circ}{A}_n$ 并且

其中$\|x\|$是欧氏范数。证明$A_{n+1}$没有形式$H \times \mathbf{R}$的任何支持超平面，其中H是$\mathbf{R}^n$的超平面，并且它的渐近锥是$\{0\} \times \mathbf{R}_+$。 c) 如果$p_{nm}$是$m \geq n$的规范投影$\mathbf{R}^m \to \mathbf{R}^n$（$\mathbf{R}^m$与$\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^{m-n}$等同），则证明当$\mathbf{R}^N$与射影系统$(\mathbf{R}^n, p_{nm})$的射影极限等同时， $A_n$形式集合的射影系统，并且$A = \lim \leftarrow A_n$是闭凸集合，在$\mathbf{R}^N$中不是相对紧凑，没有闭超平面支撑，因此$C_A = \{0\}$。