习题 20, § 6

令$F = \mathbf{R}^{(A)}, G = \mathbf{R}^A$，其中A是任意无限集合；假设F和G被双线性形式$\langle x, y \rangle = \sum_{\alpha \in A} x(\alpha) \, y(\alpha)$置于分离对偶性中。 a) 令 N 为 G 的加法子群；我们用$x \in F$的$N^*$子群表示，使得$\langle x, y \rangle$对于所有$y \in N$来说是整数，并且用$z \in G$的$N^{**}$子群表示，使得$\langle x, z \rangle$对于所有整数来说是整数 $x \in N^*$。如果$\overline{N}$是拓扑$\sigma(G, F)$的N闭包，则表明$N^*$在F中对于$\sigma(F, G)$和$N^{**} = \overline{N}$是闭包（为了建立最后一个点，使用GT，VII, § 1.3，道具6，将N投影到有限维坐标变量G）。 b) 假设$A = N$。令 M 为 F 对于 $\sigma(F, G)$ 的闭子群；证明如果 V 是最大的向量子空间包含在 M 中，则 M 是 V 和闭子群 P 的拓扑直和，闭子群 P 是具有可枚举基的自由 $\mathbf{Z}$ 模块。 （将 F 视为有限维向量子空间的递增序列 $(F_n)$ 的并并应用 GT、VII, § 1.2、第 2 和 § 1，执行 7。）P 是离散的（对于拓扑由 $\sigma(F, G)$ 引起），当且仅当 P 为有限秩。 c) 由a)和b)推导出，当$A = N$时，G的每个闭子群（当G携带乘积拓扑$\sigma(G, F)$时）可以通过拓扑群G的自同构进行变换，在乘积$\mathbf{R}^I \times \mathbf{Z}^J$，其中I和J是N的两个集合，没有公共的元素。 d) 在空间$E = \mathbf{R}^N$中，携带拓扑$\sigma(E, E^*)$，表明子群$\mathbf{Z}^N$是封闭的，并且没有包含任何行，即使虽然它不是一个免费的$\mathbf{Z}$模块（A， VII、p. 59、练习 8)；当 A 不可枚举时，b) 的结果不会因此扩展。