习题 9, § 6

令 F 和 G 为分离对偶性中的两个向量空间，A 为 F 的凸子集，其中包含 0。对于每个 $y \in G$，写

使得 $0 \leq H_A(y) \leq +\infty$；我们称$H_A$为A的*支持函数*。 a) 证明 $H_A$ 是 $A^\circ$ (II, p. 20) 的规格。 b) 如果 A 是弱紧致的，则对于所有 $y \in G$，超平面以及方程 $\langle x, y \rangle = H_A(y)$ 是 A 的支持超平面。 c) 对于拓扑 $\sigma(G, F)$，$H_A$ 是有限且连续的，当且仅当 A 是有限维且有界的（在有限维向量子空间中，它生成）。 d) 设 $A_i$ ($1 \leq i \leq p$) 是 F 中的凸集合，其中包含 0 和 $\lambda_i$ 为实数 $\geq 0$ ($1 \leq i \leq p$)；证明凸集合 $A = \sum_i \lambda_i A_i$ 的支持度函数为 $H_A = \sum_i \lambda_i H_{A_i}$。如果$y \in G$使得$A_i$与超平面$\langle x, y \rangle = H_A(y)$的交$C_i$对于$1 \leq i \leq p$非空，则证明A的交和超平面与等式$\langle x, y \rangle = H_A(y)$是集合$\sum_i \lambda_i C_i$。 e) 假设 A 是局部紧的并且不存在包含任何行。那么集合是$\{0\}$的并和$y \neq 0$的集合，使得$H_A(y) = +\infty, H_A(-y) \neq +\infty$是渐近锥$C_A$的极锥（考虑当A是$\{0\}$和一条半线的凸包络时的情况）。 f) 假设 F 是有限维的。证明，A 是抛物线（II，p. 67，练习 17）当且仅当$H_A$ 是 G 在 $\overline{\mathbf{R}}$ 中的连续映射（如果存在平行于 $C_A$ 半直线的直线，且不满足 A，则存在注） 超平面将该半线与 A) 分开。