习题 19, § 7

在空间$\mathbf{R}^n$中，令$(K_\alpha)$是紧集的一个族，在数$\geq n + 1$中，并且使得它们都不包含在仿射超平面中。假设对于$\mathbf{R}^n$的仿射自同构的每个族$(u_\alpha)$，如果集合$u_\alpha(K_\alpha)$中的任何$n + 1$有公共的点，则所有$u_\alpha(K_\alpha)$有公共的点。证明在这些条件下，$K_\alpha$ 是凸的。 （相反，假设在同一个集合$K_\alpha$和点$x_0$中存在$n + 1$点$x_1, ..., x_{n+1}$，其中属于到$x_i$的集合的凸包络($i \geq 1$)，但不存在属于到$K_\alpha$。注，对于每个指标$i \geq 1$，都有一个$\mathbf{R}^n$和指标$\alpha_i$的仿射自同构$u_i$，这样证明指标 $j \neq i$的$x_0$和$x_j$是$u_i(K_{\alpha_i})$的极值点，并证明$n + 2$、集合、$K_\alpha$和$u_i(K_{\alpha_i})$没有点公共的。）