习题 24, § 7

在$\mathbf{R}^n$中，有限多个闭半空间（分别由超平面经过通过相同点确定的闭半空间）中的每个交称为*多面体*（分别为多面体锥体）。如果 $C$ 中存在 $x$ 的邻域 $V$（多面体），则凸集合 $C \subset \mathbf{R}^n$ 是点 $x \in C$ 中的“局部多面体”。 *a) 证明，如果闭凸集合$C \subset \mathbf{R}^n$在点$x \in C$处是局部多面体，则由$C$生成的顶点为$x$的圆锥体也是多面体。 *b) 证明 $\mathbf{R}^n$ 中的紧致凸凸集合在每个点处都是局部多面体，是一个多面体（使用 a）。 *c) 令 $P \subset \mathbf{R}^n$ 为具有内部点的闭凸集合。证明以下条件是等价的： α) $P$ 是多面体。 β) $P$ 只有有限的数个面（II、p. 87、练习 3）。 γ) $P$ 是集合的凸包络线，它是有限多条点和有限多条闭半直线的并。 （为了表明$\alpha$蕴含$\beta$）将$P$视为闭半半空间的最小的可能的数的交，并证明定义这些半空间的超平面是由维数的面生成的$n - 1$共$P$。为了证明$\beta$蕴含$\gamma$），用归纳对$n$进行论证。最后，要看到$\gamma$蕴含$\alpha$），请考虑$P$的极$P^\circ$。 *d) 证明每个凸多面体$P$都可以写成形式$Q + C_P$，其中$Q$是紧多面体，$C_P$是$P$的渐近锥体。非紧多面体不能是抛物线形。 e) 证明凸多面体的每个面都是超面（II，p. 88，练习 7，d*））（通过归纳在 $n$ 上论证）。