习题 25, § 7

a) 令 $C \subset \mathbf{R}^n$ 为顶点为 0 的闭凸圆锥体。证明 $C$ 的投影在 $\mathbf{R}^n$ 的每个二维子空间上都是封闭的当且仅当 $C$ 是多面体圆锥体（练习 24）。 （约化对于$C$包含没有线的情况：利用$C$的紧凑鞋底$S$的存在，通过归纳对$n$进行争论（II，p. 90，练习21，a*）），并投影到超平面平行于 0 与 $S$ 极值点的连线，并推断 $S$ 是局部多面体（练习 24）。 *b) 从 a) 推导出，如果我们给出 $\mathbf{R}^n$ 阶，其中 $C$ 是元素 $\geqslant 0$ 的集合，那么，*任何向量子空间* 上的每个正线性形式*当且仅当 $C$ 是多面锥（应用 a）到极锥 $C^\circ$ 时，$\mathbf{R}^n$ 的 $F$ 可以在 $\mathbf{R}^n$ 上扩展为正线性形式。如果$C$是由$(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$生成的$\mathbf{R}^3$中的圆锥体，使得$\xi_1 = 1, \xi_3 \geqslant (\xi_2^3)^-$，并且$F$是子空间$\xi_3 = 0$，则在$F$上给例一个正的线性形式，那么不能在 $\mathbf{R}^3$ 上扩展到正值线性形式。 c) 令 $A$ 为 $\mathbf{R}^n$ 中的多面体。然后，对于每个多面体 $B$，$A \cup B$ 的凸包络都是封闭的，当且仅当 $A$ 是紧的（使用练习 24，d*））。