习题 26, § 7

a) 令 $E$ 为 Hausdorff，局部凸空间，并令 $A$ 为$E$ 中凸集合 $C$ 的上限。 如果$s \in C$是点而不是属于到$A$，并且如果$B$是由$A$生成的顶点为$s$的圆锥体，则表明$B \cap (C \cap \complement A)$的闭包是$B$中的上限。 *b) 假设 $E$ 是有限维的。 证明$E$中闭凸集合$C$的每个上限$A$可以通过以下方式获得：考虑$C$的面$F$（II，p. 87，练习3）和超平面$H$在$F$生成的仿射线性簇$V$中，使得$F$完全在$H$的一侧，取$H$和超平面之间包含的$F$的点的$A$集合 $F$ 的 $H'$ 与 $H$ 平行（使用 a）和 prop。 II、p. 38 中的 4 个）。 $C$ 面的每个极值点都是 $C$ 的极值点。 c) 给出 Hausdorff 局部凸空间 $E$ 中的紧致凸集合 $C$ 的例以及$C$ 的上限$A$，使得 $A$ 和 $C \cap \complement A$ 各为生成 $E$并且$A$和$C \cap \complement A$不能由$E$的闭合超平面分隔（cf.*II，p. 78，练习11）。