习题 3, § 7

设A为向量空间E中的凸集合，并令$x$为A的点。我们称由$x$和A中的$y \neq x$形成的集合，使得线经过穿过$x$和$y$ 包含一个开段，包含在 A 和包含 $x$（A 中 $x$ 的 facet）。相对于 A 生成的线性变化 (II, p. 26)（分别是 A 的极值点）的内部点为点，其 A 中的面等于 A（分别是单个点）。 a) 证明点$x \in A$的面$F_x$是最大的凸集合$B \subset A$，使得$x$是B的内部点（相对于B生成的线性变化）。 b) 对于每个点$y \in F_x$，A 中$y$ 的面$F_y$ 与$F_x$ 中$y$ 的面相同。在阶、$F_y = F_x$中，$y$是$F_x$的内部点（相对于$F_x$生成的线性簇）是充分必要的。推出，如果$F_x$是有限维的，并且$y$是$F_x$的非内部点（相对于$F_x$生成的线性变化），则$F_y$的维数严格小于$F_x$的维数。 c) E 中的线性簇 V 与 A 相交，并且使得对于每个 $x \in A \cap V$，A 中包含的每个开段和包含 $x$ 必然包含在 V 中，称为 A 的*支持簇*。证明，对于所有 $x \in A$，由面生成的线性簇 M A中$x$的$F_x$是最小的，支持包含$x$和$M \cap A = F_x$的各种A。对于 A 的每个支持变体 V，交 $V \cap A$ 是 A 中每个内部点的分面（相对于 $V \cap A$ 生成的线性变体）。 d) 设A和B是E中的两个凸集合。对于每个点$x \in A \cap B$，$A \cap B$中$x$的面是A和B中$x$的面的交。 e) 令 B 为 Hausdorff 拓扑向量空间 E 中的闭凸集合，并令 B 包含有限余维 $n$ 的闭线性簇 M；那么 B 包含的点的 B 中的每个面都是余维 $n$ 的闭线性变体（II，p. 67，练习 14，*d*）。如果 A 是凸集合，则 $A \cap B$ 中的点 $x$ 的$A \cap B$ 中的面为有限维当且仅当 A 中的 $x$ 的面为有限维 ：进一步如果 $p$ 且$q$ 是 A 中 $x$ 的面的维数以及 $A \cap B$ 中$x$ 的面的维数，然后是 $p \leq q + n$。特别是，如果 $x \in A \cap B$ 是 $A \cap B$ 的极值点，则其 A 中的面为维数 $\leq n$。 f) 从 e) 推导出，如果 A 是紧的，且 V 是 E 中有限余维 $n$ 的闭线性簇，则 $V \cap A$ 的每个极值点最多是 $n + 1$ 极值点的线性组合 A.