习题 31, § 7

令$X$为$\mathbf{R}$和$\Phi$集合的紧凑区间$[0, 1]$，由$X$和函数$t \mapsto |t - a|^{-\alpha}$中定义的连续实值函数形成，其中$a \in X$和$0 < \alpha < 1$（我们将$0^{-\alpha} = + \infty$ 为 $\alpha > 0$）。在$X$测度的空间$\mathscr{M}(X)$中，令$\mathscr{M}_\Phi^+$为测度$\mu \geq 0$的集合，使得$\Phi$的所有函数都是$\mu$可积的。 a) 给出$\mathscr{M}_\Phi^+$由$\mathbf{R}^\Phi$的乘积结构诱导的均匀结构。证明$\mathscr{M}_\Phi^+$对于这个均匀的结构来说是一个适当的凸完全圆锥。 （注，对于每个函数$f \in \Phi$，都存在$g \in \Phi$，这样，对于所有$\varepsilon > 0$，都存在$u \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，这样$0 \leq f - u \leq \varepsilon g$。） b) 证明圆锥体 $\mathscr{M}_\Phi^+$ 没有极值生成元。 （请注意，如果 $\mu \in \mathscr{M}_\Phi^+$，则所有措施 $\lambda$ 使得 $0 \leq \lambda \leq \mu$ 属于到 $\mathscr{M}_\Phi^+$。） c) 证明$\mu \in \mathscr{M}_\Phi^+$的集合$S$，使得$\mu(1) = 1$是圆锥$\mathscr{M}_\Phi^+$的底面，并且$\mathbf{R}^\Phi$中的*单纯形*（II，p. 71，练习41）。 \*