习题 38, § 7

设 E 为 Hausdorff 局部凸空间，X E 中的紧凸集合。用 X 中连续仿射函数的$\mathscr{A}(X)$ 集合表示（不一定是连续仿射的限制至 X） E 中的函数、cf. II、p. 78、练习 11）。对于在 X 中上界的每个实值函数 f，对所有 x ∈ X 放置 $\tilde{f}(x) = \inf_h(h(x))$，其中 h 在 $\mathscr{A}(X)$ 的函数的集合中变化，使得 $h \geq f$。 a) 证明$\tilde{f}$是上半连续凹函数。如果 $f$ 本身是上半连续且凹的，则 $\tilde{f} = f$ (cf. II, p. 39, 命题 5)。

b) 假设$f$是上半连续。证明$\tilde{f}$是函数$\tilde{g}$的下包络，当$g$在函数的集合变化时，在$X$连续，其中$f$是下包络。 c) 对于所有$x \in X$，为有限族$\mu = ((\mu_j, x_j))$的集合写为$\mathscr{M}_x$，其中$x_j$是$X$的点，$\mu_j$是数$\geqslant 0$满足 $\sum \mu_j = 1$，使得$x = \sum \mu_j x_j$。对于上面 $X$ 中的每个实值函数 $f$，为所有 $x \in X$ 放入 $f'(x) = \sup_{\mu \in \mathscr{M}_x} \sum \mu_j f(x_j)$。证明$f'$是$X$的凹函数，并且$f' \leqslant \tilde{f}$。 d) 假设 $f$ 在 $X$ 中*连续*。给定$\varepsilon > 0$，让$(U_k)_{1 \leq k \leq N}$是$X$被凸开集合覆盖，这样关系$x \in U_k, y \in U_k$意味着不等式$|f(x) - f(y)| \leq \varepsilon$。输入$A_1 = U_1$，对于$k > 1$，输入$A_k = U_k \cap (\cup_{i=1}^{k-1} U_i)$。证明，对于所有 $x \in X$，存在一个$\mu = ((\mu_k, x_k))$ N 项 属于到 $\mathscr{M}_x$，其中 $x_k \in U_k$ $1 \leq k \leq N$，这样$\sum_k \mu_k f(x_k) \geq f'(x) - 2\varepsilon$（如果我们有不等式 $\sum_j \lambda_j f'(y_j) \geq f'(x) - \varepsilon$， 群 $y_j$ 属于到相同的 $A_k$ 在一起）。 e) 从 d) 推出，当 $f$ 连续时，$f'$ 是上半连续，$f' = \tilde{f}$。 （如果$\mathscr{U}$是$X$更细上的超滤器，则比点$x \in X$的邻域的过滤器更重要，并且如果$f'(y) \geq r$对于集合属于的所有点$y$到$\mathscr{U}$，证明$f'(x) \geq r - 2\varepsilon$，通过为每个$y$建立一个$\mu_y \in \mathscr{M}_y$对应，满足条件d)，然后继续到极限到$\mathscr{U}$。）