习题 6, § 7

令E、E'为分离对偶性中的两个向量空间，并且A为E包含0中的凸集合且对于$\sigma(E, E')$封闭。对于所有$a \in A$，点$x' \in A^\circ$的集合$F'_a$，使得$\langle a, x' \rangle = -1$是$A^\circ$的闭（对于$\sigma(E', E)$）凸集合。证明$F'_a$是$F'_a$的每个内部点相对于$F'_a$生成的线性变化在$A^\circ$中的小平面。我们说$F'_a$是$a$在$A^\circ$的*对偶面*。如果$F_a$是A中$a$的小平面，则表明$F'_a$也是$F_a$的每个内部点相对于$F_a$生成的线性簇的$A^\circ$中的对偶小平面；此外，如果 A 被识别为$A^{\circ\circ}$，则$F'_a$的每个内部点的$A$中的对偶面相对于由$F'_a$、包含$F_a$生成的线性变化。当$F'_a$不为空时（当$E$是有限维且$a \neq 0$、cf.II、p. 78、练习13时总是这种情况），我们说$F_a, F'_a$中的每一个都是另一个的对偶面。

如果$F'_a$是单个点，我们说点$a \in A$是$A$平滑的点（在其他字中，如果存在$A$经过的支撑的一个封闭的超平面） $a$);如果存在一个封闭的超平面$H$支撑$A$使得$H \cap A = \{a\}$，我们说$a$是严格凸性的点（或者是暴露的点）；这与说相同，存在$F'_a$的内部点（相对于$F'_a$生成的线性变化），它是$A^\circ$的平滑点。