习题 8, § 7

令$E$为有限维$n$的向量空间，$A$为$E$中的紧凸集合。 a) 令$E$中的$H$为超平面。证明在由$H$和包含至少$A$中的一个点确定的开半空间中，存在$A$严格凸性的点（II，p. 87，练习6）。 （考虑，在 $H$ 中，有一个维数 $n - 1$ 的封闭欧氏球 $C$，半径为足够大，包含 $H \cap A$，然后有欧氏球 $B$ 维数 $n$ 以及更大的半径包含 $A$ 以及 $B \cap H = C$。） b) 证明$A$是严格凸性点的集合的闭凸包络（使用a））。 c) 证明$A$的每个极值点都是严格凸性的$A$的点的集合的点。 （使用 b）和 exerc。 9、a) II、p. 66、注，极值点为形式$\sum_{i=0}^n \lambda_{im} x_{im}$点序列极限，其中$\lambda_{im} \geq 0$， $\sum_{i=0}^n \lambda_{im} = 1$和$x_{im}$是$A$严格凸性的点；接下来使用 $A$ 的紧凑性。）