习题 3, § 2

令 $E$ 为*有限*余维数 $E$ 的局部凸空间， $L$ 向量子空间， 和 $S$ 凸平衡食性集合 (III， p. 39，练习 11) $L$。 我们将证明 $E$ 中存在凸、平衡且食肉的集合 $S'$ ，使得 $S = S' \cap L$。 a) 我们可以约化到 $L$ 是超平面的情况，这样 $E = L \oplus \mathbf{R} a$ 对于点 $a \notin L$，并且这样存在一个有界的序列 $(x_n)$ 在 $E$ 这样如果我们把 $x_n = \lambda_n (y_n + a)$ 与 $\lambda_n \in \mathbf{R}$ 和 $y_n \in L$，然后 $|\lambda_n|$ 趋于 $+\infty$； 如果 $B_0$ 是 $a$ 和 $x_n$ 的集合由……组成的凸平衡包络，那么我们有 $y_n + a \in \lambda_n^{-1} B_0$ 对于所有 $n$。 b) 设 $\mathscr{B}$ 为 $E$ 的所有有界、凸、平衡子集的集合，其中包含 $B_0$； 到假设，对于每个$B \in \mathscr{B}$，存在$\rho_B > 0$这样$2\rho_B B \cap L \subset S$。 证明如果 $R$ 是集合 $\rho_B B$ 对于 $B \in \mathscr{B}$ 的并的凸平衡包络线，则我们有 $R \cap L \subset S$。