习题 11, § 3

让$T$是一个可度量的拓扑空间，$E$一个拓扑向量空间，它是一个Baire空间，并且$M$是一个从$E \times T$到拓扑向量空间$F$的映射族， 满足以下条件： 对于所有$t_0 \in T$，所有映射$x \mapsto f(x, t_0)$的集合，其中$f$穿过$M$，是线性映射从$E$到$F$的等连续集合； 对于所有$x_0 \in E$，所有映射$t \mapsto f(x_0, t)$的集合从$T$到$F$，其中$f$穿过$M$，是等连续的。 证明 $M$ 等连续。 （给定 $t_0 \in T$ 和 F 中 0 的闭平衡邻域 $V$，对于每个 $x \in E$，令 $d_x$ 为所有在 T 中具有中心 $t_0$ 的开球半径的上界，这样，对于任意点 $t$ 在这些球之一中，对于所有 $f \in M$，我们有 $f(x, t) - f(x, t_0) \in V$。证明 $x \mapsto d_x$ 在每个点 $x_0 \in E$ 处都是上半连续的；为此，证明如果我们对点有 $d_x > \alpha > d_{x_0}$ 任意闭合到 $x_0$，那么对于 F 中的每个邻域 W，对于 $d(t, t_0) \leq \alpha$ 和 $f \in M$，$f(x_0, t) - f(x_0, t_0)$ 将属于到 $V + W$。最后使用 GT，IX, § 5, No. 4，th。）