习题 2, § 3

设 $E$ 和 $F$ 是两个Hausdorff局部凸空间，和$\mathfrak{S}$ ** $E$的有界子集族。 a) 证明如果 $F$ 不只是0，那么$\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (E ; F)$ 成为Hausdorff的必要（且充分）条件是 $\mathfrak{S}$ 的集合的并总计为 $E$（使用Hahn-Banach th.）。 b) 假设 $\mathfrak{S}$ 是 $E$ 的封面。 证明存在从 $F$ 到 $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (E ; F)$ 的闭子空间的同构。 推论如果 $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (E ; F)$ 是准完备的，则$F$ 必然是准完备的。 c) 假设 $\mathfrak{S}$ 是适应 $E$ (III, p. 3, def. 4) 的出生学。 在阶中 $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (E ; F)$ 可度量， $F$ 可度量并且对于出生学 $\mathfrak{S}$ 存在可数的基 (III, p. 1) 是充分必要的。 在阶中， $\mathscr{L}(E ; F)$ 上的 $\mathfrak{S}$-拓扑由单个范数定义， $F$ 的拓扑可以由单个范数定义并且存在集合 是必要且充分的$M \in \mathfrak{S}$ 吸收每集合 ** $\mathfrak{S}$。