习题 3, § 3

让 $E$ 成为 $\mathbf{R}$（或 $\mathbf{C}$）上的拓扑向量空间。 证明对于每个族 $\mathfrak{S}$ 有界的子集的 $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$) 其中没有一个是点 0， 空间 $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (\mathbf{R} ; E)$ (resp. $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (\mathbf{C} ; E)$) 规范地同构于 $E$。 推断对于每个整数 $n > 0$ 和每个覆盖 $\mathfrak{S}$ ** $\mathbf{R}^n$ (resp. $\mathbf{C}^n$) 通过有界子集， $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (\mathbf{R}^n ; E)$ (resp. $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (\mathbf{C}^n ; E)$) 同构于** $E^n$。