习题 8, § 3

令$E$为拓扑向量空间，其中集合为$\mathfrak{S}$的有界子集。令$(G_i)_{i \in I}$为拓扑向量空间族，$F$为向量空间（与$E$和$G_i$相同的标量域）；对于每个$i \in I$，让$g_i$是从$F$到$G_i$的线性映射。假设为 $F$ 分配了最粗糙的拓扑，其中 $g_i$ 是连续的。证明$\mathscr{L}(E; F)$上的$\mathfrak{S}$拓扑是最粗糙的拓扑，其中从$\mathscr{L}(E; F)$到$\mathscr{L}(E; G_i)$的线性映射$u \mapsto g_i \circ u$是连续的。特别是，如果 $F = \prod_{i \in I} G_i$，乘积空间 $\prod_{i \in I} \mathscr{L}(E; G_i)$ 被规范地标识为 $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$。