习题 12, § 4

a) 令 E 为 E 中凸平衡集合的局部凸空间、$(A_n)$ 递增序列，使得 $A = \bigcup_n A_n$ 具有吸收性。设$(W_n)$为0的凸平衡邻域的递减序列；则$W_n \cap A_n$的凸面平衡包络线V具有吸水性；如果 E 是桶形的，$\overline{V}$ 是 0 的邻域。 b) 设$\mathfrak{F}$为E上的过滤器；假设对于每个n，都存在集合$M_n \in \mathfrak{F}$使得$(M_n + W_n) \cap A_{2n} = \varnothing$。令$V_n$为$k \leq n - 1$和$W_n$的$W_k \cap A_k$的凸平衡包络，使得$V_n$为0的邻域，并且对于所有n我们有$\frac{1}{2} \overline{V} \subset V_n$。证明对于所有 n 都有 $(M_n + V_n) \cap A_n = \varnothing$。 c) 从a)和b)推导出，如果E是桶装的并且$\mathfrak{F}$是E上的柯西滤波器，则存在整数N，使得对于E中所有$M \in \mathfrak{F}$和每个邻域W的0，$M + W$满足$A_N$。 （反证法；对于 b 的记号，考虑集合 $M \in \mathfrak{F}$ 与小阶 $\frac{1}{2} \overline{V}$。）