习题 1, § 6

Hausdorff 局部凸空间的穷举由筛$C = (C_n, p_n)_{n \geq 0}$（GT，IX, § 6, No. 5，定义 8）给出，并且对于所有凸和平衡子集的每个 $n \geq 0$、映射 $\rho_n$ 从 $C_n$ 到集合 $E$具有以下性质： E1) $E$是$\phi_0(c)$的并，其中$c$范围超过$C_0$； E2) 对于每个$n$和每个$c \in C_n$，$\phi_n(c)$是$\phi_{n+1}(c')$的并，其中$c'$范围超过$p_n^{-1}(c)$； E3) 对于每个序列$(c_k)_{k \geq 0}$，使得对于所有$k \geq 0$，$c_k \in C_k$和$c_k = p_k(c_{k+1})$，存在数$> 0$的序列$(\phi_k)$，使得对于每个序列 $E$ 的点的 $(x_k)$，使得 $x_k \in \phi_k(c_k)$ 以及实数满足 $0 \leq \lambda_k \leq \rho_k$ 的每个序列 $(\lambda_k)$ 对于所有 $k$、级数 $\sum_{k=0}^\infty \lambda_k x_k$收敛于$E$。 a) 在上述假设下，证明如果在加法中，$\phi_n(c)$ 对于 $c \in C_n$ 是闭合的，那么我们可以假设$\rho_k$ 已被选择，使得我们对所有 $m \geq 1$ 都有 $\sum_{k=m}^\infty \lambda_k x_k \in \phi_m(c_m)$（采用 $\rho_k$ 使得 $\sum_{k=0}^\infty \rho_k \leq 1$）。 b) 假设我们有一个筛子 $C$ 和序列 $(\phi_n)$ 映射进入集合凸面和平衡子集 $E$ 满足 E1), E2) 和以下条件： E3') 对于每个序列 $(c_k)_{k \geq 0}$，使得 $c_k = p_k(c_{k+1})$ 对于所有 $k \geq 0$，存在数 $> 0$ 的序列 $(\mu_k)$，这样，对于每个序列 $(x_k)$对于所有$k$，$E$的点和$x_k \in \phi_k(c_k)$，点$(\mu_k x_k)$的序列包含在$E$中的凸、有界平衡且半完备的集合中。 证明条件 E3) 也被验证（取$\rho_k = 2^{-k} \mu_k$）。 如果存在 $E$ 的穷举，则称局部凸 Hausdorff 空间是可穷举的。