习题 4, 附录 0

令 G 为离散群。 我们说G是群，如果$\ell^\infty_\mathbf{R}(G)$（I，p. 4）上存在线性形式u，使得$u(x) \geq 0$对于$x \geq 0$，$u(1) = 1$，并且对于所有$s \in G$和所有$u(\gamma(s)x) = u(x)$，则可以在其上定义均值$x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$（其中$(\gamma(s)x)(t) = x(s^{-1}t)$代表所有$t \in G$）（左翻译下的不变性）。 a) 如果我们将 $\tilde{x} = x(t^{-1})$ 表示 $x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ 和 $t \in G$，并且如果线性形式 u 在左翻译下不变，那么线性形式 $v : x \mapsto u(\tilde{x})$ 在右翻译下不变，在其他字 $v(\delta(s)x) = v(x)$ 对于所有 $s \in G$ 和对于所有$x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$（其中$(\delta(s)x)(t) = x(ts)$代表所有$t \in G$）。 将$s \in G$和$x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$放入$F_x(s) = u(\delta(s)x)$，然​​后将$F_{\gamma(t)x}(s) = F_x(s)$和$F_{\delta(t)x}(s) = F_x(st)$放入所有$t \in G$；推论出由$w(x) = v(F_x)$定义的$\ell^\infty_\mathbf{R}(G)$上的线性形式w在左右平移下是不变的，并且对于$x \geq 0$和$w(1) = 1$来说$w(x) \geq 0$是这样的。 \* b) 设 K 是从 K 到自身的所有同胚的群的非空紧致空间和 $\Gamma$ 子群。 证明如果可以在 $\Gamma$ 上定义均值，则质量为 1 的 K 上存在测度 $\mu \geq 0$，该测度在 $\Gamma$ 下不变。 （如果$a \in K$，考虑线性映射

EXERCISES

与 $K$、函数 $\sigma \mapsto f(\sigma(a))$ 属于到 $\ell^\infty_\mathbf{R}(\Gamma)$ 中的每个连续实数函数 $f$ 相关联。） c) 令$E$为$\mathbf{R}$上的豪斯多夫拓扑向量空间，且$K$为$E$的非空紧凸子集。令 $\Gamma$ 为从 $K$ 到自身的连续仿射变换的群。证明如果可以在 $\Gamma$ 上定义均值，则存在点 $b \in K$，使得对于所有 $\sigma \in \Gamma$ 都有 $\sigma(b) = b$。 （使用$b$并考虑$\mu$的重心。） d) 证明当且仅当在$G$连续运行的每个非空紧凑空间$K$上存在一个在$G$下不变的非空测度$\mu$时，可以在离散群$G$上定义均值。 （如果$E = \overline{\mathscr{K}(G)}$，考虑$E' = \ell^1_\mathbf{R}(G)$中的单位球$B$，赋予$\sigma(E', E)$，并将每个元素$x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G) = E''$关联到其限制到$B$。）如果$G$是可数的，就足够了上面的性质适用于每个紧凑的可度量$K$。 \*