习题 6, 附录 0

令$S$为集合，群$\Gamma$在左侧运算（A，I, § 5, No. 1）。令$E$为$S$上所有有界数值函数的实向量空间$\mathscr{B}(S)$（I，p. 4，例）。假设群$\Gamma$（赋予离散拓扑）具有左不变均值，并让$\Gamma$对$E$进行操作，使得$sf(x) = f(s^{-1}x)$适用于所有$s \in \Gamma$、$f \in E$和$x \in S$。

设$g \in E$为正函数；令$E_1$为函数$sg$生成的$E$的向量子空间，其中$s$范围超过$\Gamma$；令 $E_2$ 为 $E$ 的向量子空间，由正函数生成，并以 $E_1$ 的函数为界。

证明如果$E_1$上存在非空正线性形式$\phi$，且在$\Gamma$下不变，则$E_2$上存在非空正线性形式，其在$\Gamma$下不变。 （使用II、p. 21的属性1，首先将构造在$E_2$上取一个正的线性形式，其中扩展$\phi$，然后让$\Gamma$对这些扩张中的集合进行操作）。特别考虑$g = 1$的情况。