习题 7, 附录 0

a) 令$\mathfrak{B}$为平面$\mathbf{R}^2$有界子集的集合，令$\Gamma$为$\mathbf{R}^2$位移的群；设$C$为平方$[0, 1] \times [0, 1]$。证明存在一个定义在 $\mathfrak{B}$ 上的正加法集合函数 $\lambda$，它在 $\Gamma$ 下是不变的，且满足 $\lambda(C) = 1$（将练习 6 应用于$g$ 是 $C$ 的特征函数的情况；观察$\Gamma$ 是可解的，因此具有不变的均值（IV，p. 41，推论））。如果$A$是$\mathbf{R}^2$的有界子集，其边界对于$\mathbf{R}^2$上的勒贝格测度$\mu$可以忽略不计，则$\lambda(A) = \mu(A)$（对于每个$\varepsilon > 0$，存在两个集合$A_1$并且$A_2$使得$A_1 \subset A \subset A_2$、$\mu(A_2 - A_1) < \varepsilon$、$A_1$和$A_2$是平方的有限数的并）。 b) 考虑与a)中相同的问题，取$\mathbf{R}^2$的所有子集中的$\mathfrak{B}$集合，相似变换的$\Gamma$群和$C = \mathbf{R}^2$。