习题 8, 附录 0

令$E$为实向量空间，$\Gamma$为$E$的自同构的*可解*群。令$p$为$E$的半范数，其在$\Gamma$和$M$向量子空间下不变，在$E$下不变，在$\Gamma$下不变。令$u$在$M$上为线性形式，在$\Gamma$下不变，使得$|u(x)| \leq p(x)$对于所有$x \in M$。证明$E$上存在线性形式$v$，它在$\Gamma$下不变，并且满足$|v| \leq p$和$v$扩展$u$。 （令$K$为$E$上线性形式$v$的集合，其中扩展$u$，并且使得$|v| \leq p$；则$K$是$E^*$的凸子集，在$\Gamma$下稳定，在$\sigma(E^*, E)$诱导下拓扑紧凑。应用IV、p. 40的推论。）

表I。 — 局部凸空间的主型。 （注：“双重”是指“强双重”的意思。）

有限维空间 —> Fréchet-Montel 空间 —> Montel 空间

Hilbert 空间 —> 自反 Banach 空间 —> 自反 Fréchet 空间 —> 自反 Fréchet 空间 —> 自反空间

自反 Banach 空间 —> Fréchet 空间满足可数性第一公理 —> 杰出的 Fréchet 空间 —> 杰出的 Fréchet 空间的对偶 —> 半自反空间的对偶

Banach 空间 —> Normed 空间 —> Metritable 空间 —> Boronological 空间 —> 出生学的双重空间 —> 完整空间 —> 准完整空间

Fréchet 空间 —> 超生学空间 —> 桶装空间 —> 下桶装空间 —> 双桶装空间 —> 半桶装空间 —> 半反身半桶装空间 —> 半反身空间

桶装空间 —> 双 Fréchet 空间 —> 双桶装空间 —> 半反身空间

表II。 — 局部凸空间对偶的主要出生学。

包含在凸面平衡且强烈紧集 ↓ 强有界 ↑ 前往$\sigma(E', E'')$ (1) (6) ↓ 以 $\mathscr{S}$ 拓扑为界 ↑ 弱有界 ↓ 等连续 (2) ↓ 包含在凸平衡且弱紧集 (3) ↓ 弱预紧 (5)

注意： — 我们用$\mathscr{S}$表示E的有界子集族，使得每个元素都包含在集合属于到$\mathscr{S}$中。箭头一侧的数表示，如果满足性质和相同的数，则相应的蕴涵成立。

特性

1) 每当 E 是半自反的； 2) 每当 E ​​是出生学的（III，p. 22，第 10 条）； 3) 当且仅当 E 拥有 Mackey 拓扑 $\tau(E, E')$； 4) 当且仅当 E 被桶装； 5) 当且仅当$E'$对于$\sigma(E', E)$是准完备的； 6) 每当 E ​​是半完备的（*更不必说*，准完备或完备）时（III，p. 27，cor. 1）； 7) 每当$\mathscr{S}$由集合组成，其封闭凸平衡包络线是半完备的（III，p. 27，第2）。

当 E 是 Montel 空间时，所有前面的出生学都是相同的。