习题 13, § 1

在分离对偶性时，令$F$和$G$是向量空间大于$\mathbf{R}$。 a) 设$A$是$F$的凸集合，而不是包含原点，并且对于拓扑$\sigma(F, G)$是紧凑的；令$C$为由$A$生成的顶点为0的凸锥体。证明 $G$ 中的极锥 $C^\circ$ 对于拓扑 $\tau(G, F)$ 有一个内部点： b) 相反，令 $C$ 为顶点为 0 的真凸锥，对于 $\sigma(F, G)$ 是封闭的，对于拓扑 $\tau(F, G)$ 具有内部点。证明在$G$中存在超平面$H$，对于$\sigma(G, F)$封闭，而不是包含原点，这样$H \cap C^\circ$对于$\sigma(G, F)$和$(H \cap C^\circ) \cup \{0\}$生成$C^\circ$是紧致的。