习题 15, § 1

a)** 设 E 为局部凸 Hausdorff 空间，A 为 E 中的凸且平衡的集合，E 上的 u 线性形式。证明如果 $A \cap u^{-1}(0)$ 相对于 A 是闭的，则 u 到 A 的限制是连续的。 （如果不是，则证明 0 将在 A 的交和超平面 $u^{-1}(\alpha)$ 与 $\alpha \neq 0$ 的闭包中；推论如果 $b \in A$ 使得 $u(b) = -\alpha$、点 $\frac{1}{2} b$ 将在 $A \cap u^{-1}(0)$ 的闭包中。） b) 设 E 为实局部凸 Hausdorff 且完备空间，E' 为对偶。证明如果 E' 的超平面 H' 使得其交对于每个等连续且弱闭的子集 $M' \subset E'$ 都是弱闭的，则 H' 是弱闭的（使用 a）并且 III，p. 21，cor。 1）。 c) 设 E 为局部凸 Hausdorff 空间，E' 为对偶，C E 中的凸、平衡且闭集合。令 u 为 E 上的线性形式；证明如果 u 到 C 的限制对于初始拓扑是连续的，那么它对于 $\sigma(E, E')$ 也是连续的（使用 a）。由例证明C生成的u到向量子空间M的限制不一定是连续的（取$E = \mathbf{R}^{(N)}$和范数$\|x\| = \sup_n |\xi_n|$，对于C取一个合适的凸集合） 生成的E）。