习题 4, § 1

令 F 和 G 为分离对偶性中的两个向量空间，当后者被指定拓扑 σ(F, G)（或 σ(G, F)）时，G（或 F）与 F（或 G）的对偶相同。令 $\mathscr{S}$（或 $\mathscr{T}$）为 σ(F, G)（或 σ(G, F)）的凸、平衡且有界子集的 F（或 G）由……组成的覆盖。证明以下命题是等价的： α) 对于 $\mathscr{T}$ 拓扑，每个集合 M ∈ $\mathscr{S}$ 都是预紧的。 β) 对于 $\mathscr{S}$ 拓扑，每个集合 N ∈ $\mathscr{T}$ 都是预紧的。 γ) 在每个集合 M ∈ $\mathscr{S}$ 上，由 $\mathscr{T}$ 拓扑导出的拓扑与由 σ(F, G) 导出的拓扑相同。 δ) 在每个集合 N ∈ $\mathscr{T}$ 上，由 $\mathscr{S}$ 拓扑导出的拓扑与由 σ(G, F) 导出的拓扑相同。 （使用III、p. 17的第5条证明α）蕴含δ）并进行练习。 II、p. 74 中的 1 来表明 δ) 蕴含 β)。）