习题 12, § 2

设 E 为 Banach 空间，E' 为对偶。 a) 证明从点 $x \in E$ 到闭凸集合 A 的距离 $x \mapsto d(x, A)$ 是 E 上对于拓扑 $\sigma(E, E')$ 的下半连续函数。 b) 证明如果 E 是自反的，则对于 E 的每个闭凸子集 A，都存在点 $x_0 \in A$，使得 $\|x_0\|$ 等于 0 到 A 的距离（使用 a））。如果 E 的单位球的每个边界点都是极值，则此点是唯一的（II，p. 54，定义 1）。 c) 假设 E 是自反的，且令 B 为闭凸且在 E 中有界子集；从a)和b)推导出存在两个点$x \in A, y \in B$使得$\|x - y\| = d(A, B)$(cf.V,p. 71,练习8)。