习题 16, § 2

锻炼记号。 14、令$E''$为$E'' = \ell^\infty(A)$的对偶。 a) 令$e_\alpha$（对于$\alpha \in A$）为$E''$ 的元素，其中$e_\alpha(\beta) = \delta_{\alpha \beta}$（克罗内克符号）。令$(K_n)$为A的有限子集的序列，二乘二的不相交的，令$(x'''_n)$为$E'''$中的点的序列。证明整数$> 0$存在$(n_k)$、严格递增的无限序列，这样，如果我们放入$B = \bigcup_k K_{n_k}$，则元素$y'_n = (x'''_n(\alpha))_{\alpha \in B}$属于到$\ell^1(B)$。 （令$\delta$为任意数$> 0$，并令$(J_m)_{m \in \mathbf{N}}$为有限集合中$\mathbf{N}$的划分。通过反证法论证，证明如果$x''' \in E'''$，则存在整数m这样$|\langle x'', x''' \rangle| \leq \delta$ 对于所有 $x'' \in E''$，其中 $\|x''\| \leq 1$ 和 $x''(\alpha) = 0$，除了指标 $\alpha$ 属于到集合 $\bigcup_{n \in J_m} K_n$。以适当的方式将此结果连续应用于 $x'''_1, x'''_2, ...$。） b) 从 a) 和 exerc 中推导出来。 15, a) 如果$(x'''_n)$是序列，在$E'''$中对于拓扑$\sigma(E''' , E'')$收敛到0，并且如果$\tilde{x'''_n}$是$x'''_n$的限制到强闭子空间E $E''$，然后$\lim_{n \to \infty} \| \tilde{x'''_n} \| = 0$进入$E'$。

c) 由b)推导出，E''的强闭子空间E不具有强拓扑的拓扑补集。 （限制于A = N的情况，令$(e'_n)$为E上连续线性形式的序列，使得对于所有$x \in E$为$\langle x, e'_n \rangle = x(n)$；表明序列$(e'_n)$对于$\sigma(E', E)$趋于0，但$e'_n$ 不能在$E''$上扩展为连续的线性形式$x'''_n$，使得序列$(x'''_n)$对于$\sigma(E'''', E'')$趋于0。）