拓扑向量空间, IV, p. 57
Bourbaki marks this one as harder than the rest.
令 E 为 Banach 空间满足可数性第一公理。证明以下性质是等价的： a) E 不是自反的。 b) 对于每个数θ，使得0<θ<1，E′中存在序列(xn′)，使得∥xn′∥≤1对于所有n，序列(xn′)对于σ(E′,E)收敛到0，并且0 到xn′ 生成的凸集合的距离是≥θ。 c) 对于数θ使得0<θ<1和数>0的每个序列λn使得∑nλn=1，存在数α使得θ≤α≤1和E′的点的序列(yn′)使得∥yn′∥≤1对于所有n，∥∑nλnyn′∥=α和∥∑k=1nλkyk′∥≤α(1−θ∑j=n+1∞λj)对于所有n。 d) 存在z′∈E′，因此对于没有x∈E，我们也有∣⟨x,z′⟩∣=∥x∥⋅∥z′∥（James-Klee*的定理）。 （要看出a）蕴含b），请观察存在z′′∈E′′使得∥z′′∥<1和d(z′′,E)>θ。如果(xn)是E中的处处稠密序列，则在E′中找到序列(xn′)，使得∥xn′∥<1以及⟨xk,xn′⟩=0对于k≤n和⟨xn′,z′′⟩=θ。要查看 b) 隐含 c)，请使用 exerc。 24. 对于 c) 隐含 d)，证明对于所有 x∈E，我们有 ∣∑nλn⟨x,yn′⟩∣<α，其中 c) 的记号。