习题 26, § 2

如果从 $E$ 到满足以下性质的 Banach 空间 $F$ 的每一个线性映射 $u$ 是连续的：在乘积中，则称局部凸空间 $E$ 具有性质 (GDF) 空间$E \times F$，$u$的图$\Gamma$中点收敛序列的每极限又属于到$\Gamma$。每个 Fréchet 空间都有性质 (GDF) (I, p. 19, cor. 5)；这对于 Fréchet 空间族的每个归纳极限（II，p. 34，道具 10）也是如此。证明每个具有 (GDF) 性质的 Hausdorff 局部凸空间都是桶状的。 （令 $V$ 为 $E$ 中的桶，$q$ 其规格，$H$ 与 $E$ 相关的 Hausdorff 空间赋予此半范数；表明典范映射 $\pi$ 从 $E$ 到完成通过使用性质 (GDF)，$\hat{H}$ 是连续的，并且事实上，每个线性形式 $x' \in V^0$ 都可以唯一地扩展到 $\hat{H}$ 上的连续线性形式，其中形式中的集合是单位球，在对偶中$\hat{H}$。）