习题 17, § 3

a) 令$E$为局部凸豪斯多夫空间，使得$E$的相对紧集的出生学由……组成具有可数基$(A_n)$（III，p. 1）。证明对于规范出生学来说 $(A_n)$ 也是基（III，p. 3，def. 5）。 （令$C_n$为相对紧集，$n$集合的和均等于$A_n$；则对于相对紧集的出生学，$(C_n)$也是基。通过*反证法*论证，考虑有界的集合$B$不包含在$C_n$和结论中，存在$B$的点的序列$(x_n)$，从而推导出$x_n/n \notin A_n$矛盾。）然后，空间 $E$是半自反的，$E$中每个紧集的封闭凸平衡包络线是紧的。 b) 假设$E$是下桶的，并且对于拓扑$\mathscr{T}$相容的$E$和$E'$之间的对偶性，对于$\mathscr{T}$的$E$相对紧凑的子集的出生学存在可数基。证明 $E$ 是自反 (DF) 空间 (IV, p. 57, 练习 2)。 （使用$a$），注意到，$E$中的闭有界集合对于$\mathscr{T}$来说是紧致的，因此对于$E$的初始拓扑来说是完备的；这意味着$E$是桶装的）。如果$\mathscr{T}$是初始拓扑，则$E$是Montel 空间。