习题 2, § 3

下桶式空间是半桶式。局部凸空间被称为 (DF) 空间 如果它是半桶状的并且如果规范出生学 (III, p. 3, def. 5) 具有可数基。每个受范空间和每个受范空间(II,p. 33)的序列严格归纳极限都是一个(DF)空间。 Fréchet 空间的每个强对偶都是 (DF) 空间。 a) (DF) 空间的强对偶是 Fréchet 空间。 b) 令 $E$ 为 (DF) 空间，并令 $(A_n)$ 为 $E$ 的有界、凸面、平衡且封闭子集的递增序列，使得 $E$ 的每个有界子集都被其中之一吸收$A_n$。

令U为$A_n$中的并；表明 E 中 U 的闭包 $\overline{U}$ 恰好是所有 $x \in E$ 的集合，使得 $\lambda x \in U$ 对于 $0 \leq \lambda < 1$。 （如果$x \notin \lambda U$对于某些$\lambda > 1$，那么对于每个$n$，都存在线性形式$x'_n \in E'$，使得$x'_n \in A_n^\circ$和$\langle x, x'_n \rangle = \lambda$，并且序列$(x'_n)$等连续，因此有弱极限点。） c) 证明如果 (DF) 空间是桶形的，那么它也是出生的（$cf.$ III，p. 44，练习 13，b））。给出 (DF) 空间的例，它们不是超出生学的，而是出生学的和桶装的（III，p. 46，锻炼 22）以及 (DF) 空间，它们不是桶装的，而是出生学的。