习题 10, § 4

a) 令 G、H 为两个自反 Banach 空间，使得 $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})} \subset G \subset H \subset \mathbf{R}^{\mathbf{N}}$（* 代表例 $G = \ell^r(\mathbf{N})$ 和 $H = \ell^p(\mathbf{N})$，以及 $1 < r < p < + \infty$*）。取$A = \mathbf{N} \times \mathbf{N}$、$P = H^{(\mathbf{N})}$（拓扑直和）、$P' = {H'}^{\mathbf{N}}$、$Q = G^{\mathbf{N}}$、$Q' = {G'}^{(\mathbf{N})}$、$E = G^{(\mathbf{N})}$、$E' = {G'}^{\mathbf{N}}$，证明运动的条件。 9、a) 满意； $E'$ 是自反 Fréchet 空间，E、F、F' 是自反 Fréchet 空间的严格归纳法极限（因此是完全且自反的）。

b) 从 a) 开始并进行练习。 9、构造例具有以下性质： 自反 Fréchet 空间的严格归纳法极限的商 $\alpha)$ 空间，既不是准完全的也不是半自反的。 $\beta)$ 自反 Fréchet 空间的严格归纳极限的封闭子空间，它不是自反的，并且其对偶不完全。 自反 Fréchet 空间 $E_n$ 的严格归纳法极限的 $\gamma)$ 向量子空间，它不是封闭的（因此不是桶状的），但其交与每个子空间 $E_n$ 都是封闭的。 $\delta)$ 自反 Fréchet 空间的严格归纳极限的对偶的非闭子空间，其交与每个弱紧致子集都是弱紧致（*cf.* IV，p. 25，cor. 2）。