习题 20, § 4

a) 令E、F是从E到F的两个Banach空间、$u$严格的态射，使得$u^{-1}(0)$是有限维的。证明对于从 E 到 F 且范数足够小的每个连续线性映射 $w$，$v = u + w$ 是从 E 到 F 和 $\dim v^{-1}(0) \leq \dim u^{-1}(0)$ 的严格态射。 （将 E 写为 $u^{-1}(0)$ 的拓扑直和和闭子空间，并使用 IV、p. 66 的 exerc.18。） b) 设E，F为两个Banach空间，$u$一个从E到F的连续线性映射，使得$u(E)$在F中有有限余维。那么$u(E)$是闭集，$u$是一个严格的态射（I， p. 28，练习4）。证明对于从 E 到 F 的每个连续线性映射 $w$，足够小的范数，$v = u + w$ 是从 E 到 F 的严格态射并且

（考虑$^tv = ^tu + ^tw$，并使用a）和IV，p. 30，cor。 3）。