习题 21, § 4

令 E 和 F 为两个 Banach 空间。如果$u^{-1}(0)$是有限维且$u(E)$有有限余维，从E到F的连续线性映射被称为Fredholm算子（或准同构）（这意味着$u(E)$在F中是封闭的并且$u$是严格的态射）； 数$\operatorname{Ind}(u) = \operatorname{codim}(u(E)) - \dim(u^{-1}(0))$称为$u$的指标。 a) 证明 $^tu : F' \to E'$ 也是 Fredholm 算子并且$\operatorname{Ind}(^tu) = - \operatorname{Ind}(u)$。 b) 如果$u : E \to F$和$v : F \to G$是两个Fredholm算子，那么$v \circ u : E \to G$和$\operatorname{Ind}(v \circ u) = \operatorname{Ind}(u) + \operatorname{Ind}(v)$也是。 c) 如果$w : E \to F$是连续线性映射且有限秩或足够小范数，则$u + w$是Fredholm算子且$\operatorname{Ind}(u + w) = \operatorname{Ind}(u)$（使用IV、p. 65和18，b））的练习17，c）。