习题 9, § 4

设 A 为可数集合。考虑向量空间$(P, P'), (Q, Q'), (E, E')$中的三个对，六个空间中的每一个是$\mathbf{R}^A$中的向量子空间和包含直和子空间$\mathbf{R}^{(A)}$；在加法中，假设对于每个点$x \in P$（分别为$x \in Q$，$x \in E$）和每个点$x' \in P'$（分别为$x' \in Q'$，$x' \in E'$），族$(x_\alpha x'_\alpha)_{\alpha \in A}$可求和并把$\langle x, x' \rangle = \sum_{\alpha \in A} x_\alpha x'_\alpha$；这双线性形式将P和$P'$（分别是Q和$Q'$，E和$E'$）置于分离对偶性中。

a) 假设$E = P \cap Q$、$E' \supset P' + Q'$ 和$E' \neq P' + Q'$。考虑从E到$F = P \times Q$的线性映射$u : x \mapsto (x, x)$，它与$F' = P' \times Q'$放入分离对偶性。证明$u$对于弱拓扑$\sigma(E, E')$和$\sigma(F, F')$是连续的，并且它的像$M = u(E)$是$\sigma(F, F')$的闭子空间；对于拓扑$\sigma(F', F)$和$\sigma(E', E)$，推导出$u'$是从$F'$到$E'$的严格态射，并且对于$\sigma(E', E)$，$N = u'(F)$在$E'$中不是封闭的。如果$E'$对于拓扑$\tau(E', E)$可度量，则对于拓扑$\tau(F', F)$和$\tau(E', E)$，推导出$u'$也是从$F'$到$E'$的严格态射。

b) 在加法中，假设$E'$是$\tau(E', E)$的Fréchet空间。那么$F'/M^\circ$赋予$\tau(F', F)$除以$M^\circ$的商拓扑，不是半完备的，$F'/M^\circ$中存在有界集合，对于$\tau(F'/M^\circ, M)$不是相对紧的。

c) 在与b)相同的假设下，令$x'$为$E'$的元素，而不是属于到$N = u'(F')$；对于每个$y \in M$，令$v(y) = \langle x, x' \rangle$，其中$x \in E$是唯一元素，使得$u(x) = y$。证明$M$上的线性形式$v$对于拓扑$\sigma(F, F')$不是连续的，但是对于$M$的每个有界子集来说它的限制对于$\sigma(M, F'/M^\circ)$是连续的。推断$L = v^{-1}(0)$是$F$的向量子空间，其交对于$F$的每个有界且闭的子集（对于$\sigma(F, F')$）对于$\sigma(F, F')$来说是闭的，但是在$F$ 换$\sigma(F, F')$。