习题 16, § 5

a) 令 E 为 Banach 空间。对于 E 的点的无限序列 $(x_n)$，以下属性是等效的： α) 级数与一般项 $x_n$ 交换收敛 (GT, III, § 5, No. 7)。 β) 对于$\mathbf{N}$的每个子集I，由序列$(x_n)_{n \in I}$定义的级数是收敛的（GT，III, § 5, No. 3，命题2和§ 5，练习4）。 γ) 对于数的每个序列$(\varepsilon_n)$等于1或$-1$，级数与一般项$\varepsilon_n x_n$收敛。 δ) 对于每个$\varepsilon > 0$，存在$\mathbf{N}$的有限子集 J，这样，对于$\mathbf{N}$的每个有限子集 H（不与J相交），我们有$\left\| \sum_{n \in H} x_n \right\| \leq \varepsilon$。

b) 令 $(e_n)$ 为 E 的 Banach 基。以下属性是等效的： α) 对于 $\mathbf{N}$ 的每个置换 $\pi$，序列 $(e_{\pi(n)})$ 是 E 的 Banach 基。 β) 对于数的每个序列 $(\varepsilon_n)$ 等于 1 或$-1$，序列 $(\varepsilon_n e_n)$ 是 E 的 Banach 基。 γ) 对于E中的每个$x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$和每个序列$(\eta_n)_{n \in \mathbf{N}}$，其中$|\eta_n| \leq |\xi_n|$对于所有$n$，级数与一般项$\eta_n e_n$在E中收敛。 δ) 对于E中的每个$x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$和整数$\geq 0$中的每个严格递增的序列$(n_k)_{k \in \mathbf{N}}$，级数与一般项$\xi_{n_k} e_{n_k}$在E中收敛。 ε) 存在实数 $M > 0$，使得对于 $\mathbf{N}$ 中的每一个有限子集 J 以及 E 中的每一个 $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$，我们都有 $\left\| \sum_{n \in J} \xi_n e_n \right\| \leq M \|x\|$。

（为了证明 α）蕴含 ε），请按照 IV、p. 69 中的论证进行论证。 14. 证明β)蕴含γ)，约化适用于$\xi_n$和$\eta_n$为实数的情况，并考虑和$\sum_{n=p}^q \langle \eta_n e_n, x' \rangle$对于$x' \in E'$。）

当满足这些条件时，$(e_n)$被称为E的无条件Banach基。

c) 假设 $(e_n)$ 是无条件基。证明存在实数$K > 0$，使得对于数的每个序列$(\varepsilon_n)$等于1或$-1$以及对于E中的所有$x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$，我们有$\left\| \sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n \xi_n e_n \right\| \leq M \|x\|$（与中的方法相同） IV，p. 69，练习 14)。推断对于标量 $(\lambda_n)$ 的每个有界序列以及X 中的所有 $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$，我们有

（如b）中的论证，对于证明，$\beta$意味着$\gamma$）。