习题 17, § 5

a) 设 E 为 Banach 空间，且具有无条件 Banach 基 $(e_n)$（练习 16）。证明如果基 $(e_n)$ 不收缩（IV，p. 70，执行 15），则存在数 $\alpha > 0$，线性形式 $x' \in E'$，使得 $\|x'\| = 1$，严格递增的整数$(n_k)$的序列，对于每个$k$，元素$y_k$，它是$n_k \leq j \leq n_{k+1}$的$e_j$的线性组合，并且使得$\|y_k\| \leq 1$和$\langle y_k, x' \rangle \geq \alpha$。推断对于每个有限序列 $(\lambda_j)_{1 \leq j \leq m}$ 标量，我们有 $\left\| \sum_{j=1}^m \lambda_j y_j \right\| \geq \frac{\alpha}{2K} \sum_{j=1}^m |\lambda_j|$ （使用练习 16，c））。 结论存在从$\ell^1(\mathbf{N})$到E的闭子空间的拓扑向量空间同构。 b) 从a)推导出，如果E的强对偶$E'$满足可数性第一公理，则E的每个无条件基$(e_n)$都在收缩，因此$(e'_n)$是$E'$的无条件基（IV， p. 70，练习 15，a))。 （观察到，如果 E 的闭合向量子空间同构于 $\ell^1(\mathbf{N})$，则 E' 不能满足是可数性的第一个公理。） c) 证明如果 E 具有无条件基并且 E 的强对偶 $E''$ 满足第一个可数性公理，则 E 是自反的。 （利用IV、p. 51、演算25、注，E的强对偶$E'$满足可数性第一公理；再利用IV、p. 70、演算15、c）和IV， p. 53，锻炼。 11.)