习题 12, § 1

a) 证明存在数 $c_0 > 0$，使得对于维数 $n$ 的每个实数范数向量空间 E 和每个整数 $k \leq c_0 n$，在 E 上存在一个希尔伯特范数 $x \mapsto \|x\|_2$，使得对于所有$\|x\|_2 \leq \|x\|$ $x \in E$，以及 E 的 $k$ 元素的正交系统 $(x_j)_{1 \leq j \leq k}$（对于希尔伯特结构）和范数 $\|x_j\| \leq 2$。 （使用V、p. 60 中的练习 3。） b) 令$n, m$为两个整数$> 0$，使得$n \leq c_0 m$。令 E 为维数 $m$ 的实数范数向量空间。证明存在 E 的向量子空间 F，维数 $n$，F 上的正分离对称双线性形式 $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ 以及 F 的正交标准基 $\{a_1, a_2, ..., a_n\}$，使得

（其中$\|x\|_2^2 = \langle x|x \rangle$）对于所有$x \in F$。 （将 a) 应用于 E 的对偶 $E'$。）