习题 20, § 1

令$E$为实有限维向量空间，$\phi$为从$E$到其对偶$E^*$的双射线性映射。令$A$为$E$中的对称紧凸集合，以0为内部点；假设对于$A$边界中的每个$x$，超平面以及方程$\langle y - x, \phi(x) \rangle = 0$是超平面对$A$的支持。 a) 设$f(x) = |\langle x, \phi(x) \rangle|$，并令$a$为$A$的边界点，其中$f(x)$达到最小值。证明对于每个点 $b$ 这样的 $\langle b, \phi(a) \rangle = 0$，我们也有 $\langle a, \phi(b) \rangle = 0$。 （观察$x \neq 0$的$\langle x, \phi(x) \rangle \neq 0$，因此我们可以假设$f(x) = \langle x, \phi(x) \rangle \geq 0$；使用以下事实：$A$在点$a$的每个支持超平面也是集合的支持超平面，定义为$f(x) \leq f(a)$。） b) 证明$(x, y) \mapsto \langle x, \phi(y) \rangle$是对称的双线性形式，并且$A$与所有点$x$中的集合相同，使得$f(x) \leq \gamma$为合适的常数$\gamma$。 （用归纳对$E$的维数进行论证；用记号和$a$，用等式$\langle x, \phi(a) \rangle = 0$考虑超平面。）