习题 22, § 1

令$E$为维数$\geq 3$的实数范数空间，这样，对于$E$中的每个齐次平面$P$，都存在从$E$到$P$的连续投影算子，范数1。 证明 $E$ 上的范数是前希尔伯特式的。 在V、p. 60的帮助下，锻炼。 2、将约化改为$E$为维数3的情况，依次建立以下命题。 a) 对于$E$中的每个齐次平面$P$，存在从$E$到$P$的唯一连续投影算子，其中范数 1，且此投影的核是齐次线$D(P)$，使得$P \mapsto D(P)$是连续双射从$E$齐次平面的空间进入$E$齐次线的空间（GT，VI, § 3, No. 5）。 b) $E$ 中球体 $D : \|x\| = 1$ 的每个点都是由 $\|x\| \leq 1$ 定义的 $E$ 球体 $B$ 的极值。 （首先证明，如果$x \in S$不是极值，则通过考虑所有齐次平面$\tilde{P}$经过，$B$（II，p. 87，练习3）中的截面$F_x$将是二维的$x$，接下来证明这个假设是矛盾的，在$F_x$中的点处进行类似的处理，其中在$F_x$生成的平面中只存在一条$F_x$的支撑线；通过使用II可以证明这样的点的存在， p. 88，执行 7 和 p. 88，执行 8）。 c) 球体$S'$的每个点，以及$E$的对偶$E'$中的方程$\|x'\| = 1$，都是由$\|x'\| \leq 1$定义的$E'$的球$B'$的极值。 （首先观察到，对于$E'$的每条齐次线$D'$，$E'$中存在唯一的齐次平面$P'(D')$，使得对于$S' \cap P'(D')$中的每个点，B'在此点（$a$唯一）的支撑平面平行于D'；此外， 映射 $D' \mapsto P'(D')$ 是连续的。 推论如果$x' \in S'$不是B'中的极值点，则B'中的截面$F_{x'}$至少为维数 2；为此，请考虑在点 $x'$ 处平行于 B' 支撑平面的所有齐次线 D'。 接下来通过考虑$F_{x'}$（II，p. 88，练习8）的严格凸性$y'$的点，以及与点处$F_{x'}$的支撑线平行的唯一齐次线$D'_0$，证明这个假设意味着矛盾$y'$在$F_{x'}$生成的平面上，并证明函数$D' \mapsto P'(D')$对于$D' = D'_0$来说不是连续的。 d) 证明，如果 E 包含中的三个齐次平面 $P_1, P_2, P_3$ 位于同一直线 $\Delta$ 上，则这三个直线 $D(P_1), D(P_2), D(P_3)$ 位于同一齐次平面 $\pi(\Delta)$ 中（考虑 B 在 $\Delta$ 和 S 的交点处的唯一支撑平面）。 应用射影几何的基本定理（A，II, § 9，练习16）推论存在一个从E'到E的双射线性映射$\phi$，使得对于所有$x' \in E'$，点$\phi(x')$属于到直线D(P)，其中 P 是具有方程 $\langle y, x' \rangle = 0$ 的平面。 证明对于每个点$x' \in S'$，具有方程$\langle \phi(x'), y' - x' \rangle = 0$的平面是B'在此点的支撑平面，结论由应用V，p. 65，执行。 20.